Question

已知橢圓的兩焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求此橢圓的方程．
（Ⅱ）設直線y=

x

2

+m與橢圓交于P，Q兩點，且|PQ|的長等于橢圓的短軸長，求m的值．
（Ⅲ）若直線y=

x

2

+m與此橢圓交于M，N兩點，求線段MN的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）求橢圓的方程即是求a，b兩參數的值，由題設條件橢圓的兩焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），離心率e=

3

2

．求出a，b即可得到橢圓的方程．
（II）本題中知道了直線l：y=

1

2

x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，故可由弦長公式建立方程求出參數m的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯立，再利用弦長公式建立方程；
（III）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為P（x，y），則x

2 1

+4y

2 1

=4，x

2 2

+4y

2 2

=4，利用設而不求的方法結合中點坐標公式即可求出線段MN的中點P的軌跡方程．

解答：解：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=

3

，

c

a

=

3

2

，（4分）
∴a=2，b=1，所求橢圓方程

x2

4

+y2=1．（5分）
（II）由

t= 1 2 x+m x2+4y2=4

，消去y，得x²+2mx+2（m²-1）=0，…（6分）
則△=4m²-8（m²-1）＞0得m²＜2（*）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，y₁-y₂=

1

4

（x₁-x₂）…（7分）
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

5

2

(x1-x2)2-4x1x2

=

5

2

8-4m2

=

5

•

2-m2

=2…（9分）
解得，m=±

30

5

，滿足（*）
∴m=±

30

5

．…（10分）
（III）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為P（x，y），
則x

2 1

+4y

2 1

=4，x

2 2

+4y

2 2

=4，又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴x+2y=0，因P在橢圓的內部，可求得-

2

＜x＜

2

，
∴線段MN的中點P的軌跡方程為x+2y=0，（-

2

＜x＜

2

）．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．解答的關鍵是利用方程思想利用設而不求的方法求出m值．