Question

設數列{a_n}是首項為0的遞增數列，fn(x)=|sin

1

n

(x-an)|，x∈[an，an+1](n∈N*)，滿足：對于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b總有兩個不同的根，則{a_n}的通項公式為

an=

n(n-1)

2

π

．

Answer 1

分析：根據條件確定a_n+1-a_n=nπ，利用疊加可求得{a_n}的通項公式．

解答：解：∵a₁=0，當n=1時，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，x∈[0，a₂]，
又∵對任意的b∈[0，1），f₁（x）=b總有兩個不同的根，∴a₂=π
∴f₁（x）=sinx，x∈[0，π]，a₂=π
又f₂（x）=|sin

1

2

（x-a₂）|=|sin

1

2

（x-π）|=|cos

x

2

|，x∈[π，a₃]
∵對任意的b∈[0，1），f₁（x）=b總有兩個不同的根，∴a₃=3π…（5分）       
 又f₃（x）=|sin

1

3

（x-a₃）|=|sin

1

3

（x-3π）|=|sin

1

3

π|，x∈[3π，a₄]
∵對任意的b∈[0，1），f₁（x）=b總有兩個不同的根，∴a₄=6π…（6分）
由此可得a_n+1-a_n=nπ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=0+π+…+（n-1）π=

n(n-1)

2

π
∴an=

n(n-1)

2

π
故答案為：an=

n(n-1)

2

π

點評：本題考查數列與三角函數的結合，考查學生分析解決問題的能力，具有一定的綜合性，屬于中檔題．