Question

如圖：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為1，黑白二蟻都從點A出發，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”．白蟻爬行的路線是AA₁→A₁D₁→…，黑蟻爬行的路線是AB→BB₁→…．它們都遵循如下規則：所爬行的第i+2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線（其中i∈N^*）．設黑白二蟻走完第2014段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．0

Answer 1

分析：先根據題意，通過前幾步爬行觀察白螞蟻與黑螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬6步回到起點，周期為6．再計算黑螞蟻與白螞蟻爬完2014段后，各自達哪個點頂點處，利用正方體的性質和棱長為1加以計算，即可得到此時它們的距離．

解答：解：由題意，可得
白螞蟻爬行路線為AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，即走過6段后又回到起點A，可以看作以6為周期，
同理，黑螞蟻也是過6段后又回到起點A，以6為周期．
因此，白螞蟻爬完2010段后回到A點，再爬4段：AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C到達終點C，
同理可得黑螞蟻爬完2010段后到回到A點，再爬4段：AB→BB₁→B₁C₁→C₁D₁到達的終點D₁．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，∴CD₁=

2

，
可得黑白二蟻走完第2014段后，它們的距離是

2

故選：B

點評：本題以一個創新例子為載體，考查正方體的性質和距離的計算，同時考查了歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關知識，屬于中檔題．