Question

【題目】如圖，已知拋物線，直線交拋物線于，兩點，是拋物線外一點，連接，分別交拋物線于點，，且．

（Ⅰ）若，求點的軌跡方程；

（Ⅱ）若，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）聯立直線與拋物線，利用韋達定理、定比分點坐標公式、導數的幾何意義可求得點的橫坐標為定值，再根據點在拋物線外可得點的縱坐標的范圍，從而可得結果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）和弦長公式求解．

（Ⅰ）設，，，

由，得，

則，（*）

因為，所以可設，，

所以由定比分點公式得，，

將的坐標代入拋物線方程，得，，

化簡得，

所以為方程的兩根，

聯立（*）式得，

解得．

設過拋物線上點的切線與平行，

因為，所以，則，即，，

所以點的軌跡方程為．

（Ⅱ）設的中點為，

則，

由（Ⅰ）知，

因為，所以，

又，得，

又

，

所以

，

顯然當時，取得最小值．