Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的動點，當

PD

•

PA

最小時，tan∠APD的值為

 

．

Answer 1

分析：由余弦定理可得 1=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，即

PD

•

PA

=

AP2 +DP2-1

2

，利用基本不等式可得當

PD

•

PA

最小時，點P是AD的中垂線和BC的交點，tan

∠APD

2

=

1 2

3

=

1

6

，利用倍角的正切公式求得tan∠APD  的值．

解答：解：∵

PD

•

PA

=PD•PA cos∠APD，△PDA中，由余弦定理可得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，
∴

PD

•

PA

=

AP2 +DP2-1

2

≥

2AP•DP-1

2

，當且僅當AP=DP 時，等號成立．
故當

PD

•

PA

最小時，點P是AD的中垂線和BC的交點，tan

∠APD

2

=

1 2

3

=

1

6

，
∴tan∠APD=

2tan ∠APD 2

1-tan2 ∠APD 2

=

2 6

1-( 1 6 )2

=

12

35

，
故答案為：

12

35

．

點評：本題考查余弦定理，基本不等式，二倍角的正切公式的應用，求出tan

∠APD

2

 的值，是解題的關鍵．