Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
（1）用平面A₁BC₁截去一角后，求剩余部分的體積；
（2）求A₁B和B₁C所成的角．

Answer 1

分析：（1）先求出截下部分體積，剩余部分體積=正方體的體積-截下部分體積，從而得出結果．
（2）連接D₁C和D₁B₁，將A₁B平移到D₁C，再利用中位線進行平移，使兩條異面直線移到同一點，得到A₁B與B₁C所成的角，再在等邊三角形△D₁CB₁求之即可．

解答：解：（1）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴△A₁B₁C₁是棱錐B-A₁B₁C₁的底，
BB₁是棱錐的高，△A₁B₁C₁的面積=

1

2

a2，
截下部分體積=

1

3

BB1×△A1B1C1的面積=

1

3

a•

1

2

a2=

a3

6

，正方體體積=a³，
剩余部分體積=a³-

1

6

a3=

5

6

a3．
（2）連接D₁C和D₁B₁，
∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，
∴A₁B∥D₁C，∴∠B₁CD₁即A₁B與B₁C所成的角，
∵正方體各面上對角線的長度相等，即D₁B₁=B₁C=D₁C，
∴△D₁CB₁是等邊三角形
∴∠D₁CB₁=60°，
∴A₁B與B₁C成60⁰的角．

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，平移法是研究異面直線所成的角的最常用的方法，屬于基礎題．