Question

已知拋物線y=ax²-1上存在關于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：設而不求，可設出對稱的兩個點P，Q的坐標，利用兩點關于直線x+y=0成軸對稱，可以設直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點存在，所以方程組

y=x+b y=ax2-1

有兩組不同的實數解，利用中點在直線上消去參數b，建立關于a的函數關系，求出變量a的范圍．

解答：解：設拋物線上關于直線l對稱的兩相異點為P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為M（x₀，y₀），設
直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點存在，
所以方程組

y=x+b y=ax2-1

有兩組不同的實數解，即得方程ax²-x-（1+b）=0．①
判別式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x₀=

x1+x2

2

=

1

2a

，y₀=x₀+b=

1

2a

+b．
∵M∈l，∴0=x₀+y₀=

1

2a

+

1

2a

+b，
即b=-

1

a

，代入②解得a＞

3

4

．
故實數a的取值范圍（

3

4

，+∞）

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，以及對稱問題，屬于難題，有一定的計算量．