Question

已知三點(diǎn)A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（1）證明：AB⊥AD．
（2）若點(diǎn)C使得四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求該矩形對角線所夾的銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，兩向量垂直證出兩線垂直．
（2）利用向量相等對應(yīng)的坐標(biāo)相等求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出兩對角線對應(yīng)的向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出向量的夾角．
解答：（1）證明：可得，，，
∴AB⊥AD；
（2）由（1）及四邊形ABCD為矩形，得，設(shè)C（x，y），
則（1，1）=（x+1，y-4），∴，得，即C（0，5）；
∴，
得，，
設(shè)與夾角為θ，則，
∴該矩形對角線所夾的銳角的余弦值．
點(diǎn)評：本題考查兩向量垂直的充要條件并利用向量垂直證明兩線垂直；利用向量的數(shù)量積求向量的夾角．