Question

（2011•鹽城模擬）（選修4-5：不等式選講）
已知a，b，c為正數，且a²+a²+c²=14，試求a+2b+3c的最大值．

Answer 1

分析：設向量

m

=(a，b，c)，

n

=(1，2，3)，結合數量積的性質|

m

•

n

|≤

|m|

•

|n|

，可得|a+2b+3c|≤

a2+b2+c2

•

14

，即|a+2b+3c|≤14，由此可得a+2b+3c的最大值．

解答：解：設向量

m

=(a，b，c)，

n

=(1，2，3)，可得

|m|

=

a2+b2+c2

，

|n|

=

12+22+32

=

14

，

m

•

n

=a+2b+3c
∵

m

•

n

=

|m|

•

|n|

cosθ，|cosθ|≤1（θ為向量

m

、

n

的夾角）
∴|

m

•

n

|≤

|m|

•

|n|

，可得|a+2b+3c|≤

a2+b2+c2

•

14

∵a²+a²+c²=14，
∴|a+2b+3c|≤14，可得-14≤a+2b+3c≤14
當且僅當a：b：c=1：2：3時，即a=1，b=2，c=3時，a+2b+3c取最大值14．

點評：本題已知a、b、c三個數的平方和的值，求a+2b+3c的最大值．著重考查了空間向量數量積的性質和柯西不等式求最值等知識，屬于基礎題．