Question

（08年寧夏、海南卷理）（本小題滿分12分）

設函數，曲線在點處的切線方程為y=3．

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）證明：函數的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（Ⅲ）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

【解析】（Ⅰ），

于是解得或

因，故．

（Ⅱ）證明：已知函數，都是奇函數．

所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點．

由知，過此點的切線方程為

．

令得，切線與直線交點為．

令得，切線與直線交點為．

直線與直線的交點為．

從而所圍三角形的面積為．

所以，所圍三角形的面積為定值．