Question

圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4．已知凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比例系數為

3

，設AB=2x，BC=y．

（1）寫出y關于x函數表達式，并指出x的取值范圍；
（2）求當x取何值時，凹槽的強度最大．

Answer 1

分析：（1）由“其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4”建立模型，再根據四邊形ABCD是矩形求得定義域．
（2）先求得橫斷面的面積，再由“凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比例系數為

3

”建立模型，再用二次函數法求得最值．

解答：解：（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為πx．
所以4=2x+2y+πx，（2分）
得y=

4-(2+π)x

2

（3分）
依題意知：0＜x＜y
得0＜x＜

4

4+π

所以，y=

4-(2+π)x

2

（0＜x＜

4

4+π

）．（6分）

（2）依題意，設凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，則有
T=

3

S=

3

(2xy-

πx2

2

)（8分）
=

3

(2x?

4-(2+π)x

2

-

πx2

2

)
=

3

[4x-(2+

3π

2

)x2]
=-

3 (4-3π)

2

(x-

4

4+3π

)2+

8 3

4+3π

．（11分）
因為0＜

4

4+3π

＜

4

4+π

，
所以，當x=

4

4+3π

時，凹槽的強度最大．（13分）
答：當x=

4

4+3π

時，凹槽的強度最大．（14分）

點評：本題主要考查數學建模型和解模型的能力，主要涉及了平面圖形的周長，面積及在實際問題中模型的意義．