Question

已知函數f（x）=

2x

x+1

（1）當x≥1時，證明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若數列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺，證明數列{b_n}是等比數列，并求出數列{b_n}、{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），證明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

1

3

Answer 1

分析：（1）因為x≥1，求出f（x）-x得到其小于等于0，得到lnx大于等于0，所以當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）把a_n代入到f（x）中化簡得到a_n與b_n的通項公式即可；
（3）根據a_n與b_n的通項公式和c_n=a_n•a_n+1•b_n+1得到c_n的通項公式，化簡得到c₁+c₂+c₃+…c_n＜

1

3

即可．

解答：解：（1）∵x≥1得f（x）-x=

2x

x+1

-x=

2x-x2-x

x+1

=

-x(x-1)

x+1

≤0，
而x≥1時，lnx≥0
∵x≥1時，f（x）-x≤lnx
∴當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺∴a_n+1=

2an

an+1

得

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

∴a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺
∴

bn+1

bn

=

1 an+1 -1

1 an -1

=

1 2 + 1 2an -1

1 an -1

=

1 2an - 1 2

1 an -1

=

1

2

（n∈N⁺）
又b₁=

1

a1

-1=

1

2

∴{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，其通項公式為b_n=

1

2n

又a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an

-1，n∈N⁺
∴a_n=

1

bn+1

=

1

1 2n +1

=

2n

2n+1

（n∈N⁺）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=

2n

2n+1

×

2n+1

2n+1+1

×

1

2n+1

=

2n

2n+1

×

1

2n+1+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=（

1

21+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

點評：考查學生掌握數列求和及數列遞推式的能力，理解函數恒成立時取條件的能力．