Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，AB=BC=2，．
（1）求證：BC⊥平面A₁ABB₁；
（2）求直線A₁B與平面A₁AC成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知BC⊥AB，BC⊥BB₁，由此能夠證明BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明直線A₁B與平面A₁AC成角的正弦值．
解答：解：（1）∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，
∴BC⊥AB，BC⊥BB₁，
又∵AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，AB=BC=2，，
∴，B（2，2，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
∴=（0，0，2），=（-2，2，0），=（0，2，-2）
設平面A₁AC的法向量為=（x，y，z），則，=0，
∴，解得=（1，1，0），
設直線A₁B與平面A₁AC成角為θ，
則sinθ=|cos＜，＞|=||=．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．