Question

如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊AB在軸上，原點O為AB的中點，，D是OC的中點．以A、B為焦點的橢圓E經過點D．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點C的直線與橢圓E相交于不同的兩點M、N，點M在點C、N之間，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1橢圓E的方程為．（2）．

解析:

（1）在等腰直角三角形ABC中，因為斜邊，

所以．所以橢圓的半焦距．

 因為D是OC的中點，所以橢圓的短半軸長，

所以橢圓的長半軸長． 

所以橢圓E的方程為．

(2)設，，則， ．

由，得．所以 ①

因為點，都在橢圓上，所以②　將①代入②得，

消去，得．

所以．根據題意，得，所以．

 解得．③ 

因為點M在點C、N兩點之間，，所以，④ 

 根據③、④，得。