Question

漢諾塔問(wèn)題是指有三根桿子和套在一根桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上：（1）每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片；（2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面．
如圖所示，將B桿上所有碟片移到A桿上，C桿可以作為過(guò)渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動(dòng)到另一根桿子為移動(dòng)一次，記將B桿子上的n個(gè)碟片移動(dòng)到A桿上最少需要移動(dòng)a_n次．
（1）寫出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，從A桿移到C桿上有一種方法A→C，即a₁=1；當(dāng)n=2時(shí)，從A桿移到C桿上分3步，即A→B，A→C，B→C，有三種方法，即a₂=3，當(dāng)n=3時(shí)，從A桿移到C桿上分七步，即A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C，有七種方法，即a₃=7；同理，得a₄=15；
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1；現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，①驗(yàn)證n=1時(shí)，a_n成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，a_k=2^k-1成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2^k+1-1也成立；即證得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2ⁿ-1．
（3）由（2）可知，a_n=2ⁿ-1，，從而，進(jìn)而可構(gòu)建函數(shù)，從而可證．
解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15．…（4分）
（2）由（1）推測(cè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1．…（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，從B桿移到A桿上只有一種方法，即a₁=1，
這時(shí)a_n=1=2¹-1成立；…（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，a_k=2^k-1成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，將B桿上的k+1個(gè)碟片看做由k個(gè)碟片和最底層1張碟片組成的，由假設(shè)可知，將B桿上的k個(gè)碟片移到C桿上有a_k=2^k-1種方法，再將最底層1張碟片移到A桿上有1種移法，最后將C桿上的k個(gè)碟片移到A桿上（此時(shí)底層有一張最大的碟片）又有a_k=2^k-1種移動(dòng)方法，故從B桿上的k+1個(gè)碟片移到A桿上共有a_k+1=a_k+1+a_k=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1
種移動(dòng)方法．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)a_n=2ⁿ-1成立．
由①②可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2ⁿ-1．…（9分）
（說(shuō)明：也可由遞推式a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n∈N^*，N＞1），構(gòu)造等比數(shù)列a_n+1=2（a_n-1+1）求解）
（3）由（2）可知，a_n=2ⁿ-1，
所以
=．…（10分）S_n=b₁+b₂+…+b_n
=++…+
=．…（11分）
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，∴．…（12分）
又，∴S_n＜1．
所以．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查了數(shù)列知識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要按照（1）驗(yàn)證，（2）假設(shè)，（3）證明的步驟解答