Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年上半年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如右下圖莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（1）在這15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以這15天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按360天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

Answer 1

分析：（1）由莖葉圖可得中位數(shù)；
（2）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）由題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為P=

10

15

=

2

3

．一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為η，則η～B（360，

2

3

），則可得結(jié)論．

解答：解：（1）由莖葉圖可得中位數(shù)是45；
（2）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2
由P（ξ=k）=

C k 5 C 2-k 10

C 2 15

，得P（ξ=0）=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

，P（ξ=2）=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	3 7	10 21	2 21

E（ξ）=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

；
（2）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為P=

10

15

=

2

3

．
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為η，則η～B（360，

2

3

）．
∴Eη=360×

2

3

=240．
∴一年中平均有240天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及期望和莖葉圖，屬中檔題．