Question

平面直角坐標系xOy中，動點P從點P₀（4，0）出發，運動過程中，到定點F（-2，0）的距離與到定直線l：x=-8的距離之比為常數．
①求點P的軌跡方程；
②在軌跡上是否存在點M（s，t），使得以M為圓心且經過定點F（-2，0）的圓與直線x=8相交于兩點A、B？若存在，求s的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：①直接代入公式即可求得點P的軌跡方程；
②先把圓與直線x=8相交于兩點轉化為圓心M到直線x=8的距離小于圓的半徑|MF|；再借助于①的結果即可求s的取值范圍．

解答：解：①設P（x，y）是軌跡上任意一點，根據兩點距離公式和點到直線距離公式，依題意有，

(x+2)2+y2

|x+8|

=

4+2

4+8

=

1

2

，化簡得

x2

16

+

y2

12

=1．
②“圓與直線x=8相交于兩點”當且僅當圓心M到直線x=8的距離小于圓的半徑|MF|，|s-8|＜|MF|，
由①知|MF|=

1

2

|s+8|，
所以|s-8|＜

1

2

|s+8|，
又由①知-4≤s≤4，
所以8-s＜

1

2

(s+8)，解得

8

3

＜s≤4．

點評：本題是橢圓與圓的綜合，解題要求先用軌跡法求軌跡方程，再討論動點的幾何性質，關鍵是數形結合，將方程中數量的幾何意義應用于曲線幾何屬性的量化，將①的結果自然地應用于②的求解．