Question

若x₁、x₂是關于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的兩個根，則方程的兩個根x₁、x₂和系數a、b、c有如下關系：x₁＋x₂＝－，x₁•x₂＝．把它稱為一元二次方程根與系數關系定理．如果設二次函數y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：
AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝．

參考以上定理和結論，解答下列問題：
設二次函數y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個交點A(x₁，0)、B(x₂，0)，拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．
(1)當△ABC為直角三角形時，求b²－4ac的值；
(2)當△ABC為等邊三角形時，求b²－4ac的值．

Answer 1

(1) 4；(2) 12

解：(1)當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE．
∵拋物線與x軸有兩個交點，△＝b²－4ac＞0，則|b²－4ac|＝b²－4ac．
∵a＞0，∴AB＝，
又∵CE＝||＝，
∴，
∴，
∴，
∵b²－4ac＞0，
∴b²－4ac＝4；
(2)當△ABC為等邊三角形時，
由(1)可知CE＝，
∴，
∵b²－4ac＞0，
∴b²－4ac＝12．