Question

設拋物線y²=2x的焦點為F，過點M(

3

 ， 0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，|BF|=2，則△BCF與△ACF的面積之比

S△BCF

S△ACF

=

4

5

．

Answer 1

分析：利用三角形面積公式，可把△BCF與△ACF的面積之比轉化為BC長與AC長的比，再根據拋物線的焦半徑公式轉化為A，B到準線的距離之比，借助|BF|=2求出B點坐標，得到AB方程，代入拋物線方程，解出A點坐標，就可求出BN與AE的長度之比，得到所需問題的解．

解答：解：∵拋物線方程為y²=2x，∴焦點F的坐標為（

1

2

，0），準線方程為x=-

1

2

如圖，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過A，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為E，N，則，|BN|=x₂+

p

2

=x₁+

1

2

=2，∴x₂=

3

2

把x₂=

3

2

代入拋物線y²=2x，得，y₂=-

3

，
∴直線AB過點M(

3

， 0)與（

3

2

，-

3

）
方程為

3

x+（

3

2

-

3

）y-3=0，代入拋物線方程，解得，x₁=2
∴|AE|=2+

1

2

=

5

2

，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴

|BC|

|AC|

=

|BN|

|AE|

=

2

5 2

=

4

5

，

S△BCF

S△ACF

=

1 2 |BC|•h

1 2 |AC|•h

=

4

5

故答案為

4

5

點評：本題主要考查了拋物線的焦半徑公式，側重了學生的轉化能力，以及計算能力．