Question

下列命題正確的是

（1）（3）（4）

．
（1）△ABC中，sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的充分不必要條件．
（2）y=2

1-x

+

2x+1

的最大值為

5

．
（3）函數f（x+1）是偶函數，則f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
（4）已知f（x）在R上減，其圖象過A（0，1），B（3，-1），則|f（x+1）|＜1的解集是（-1，2）．
（5）將函數y=cos2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=cos(2x-

π

4

)的圖象．

Answer 1

分析：（1）先根據sinA=sinB時，則有A=B，推斷出三角形一定為等腰三角形，進而可知sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的充分條件；同時△ABC為等腰三角形時，不一定是A=B，則sinA和sinB不一定相等，故可推斷出sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的不必要條件．
（2）先求函數的定義域，再將函數兩邊平方，最后利用均值定理求最值即可，特別注意等號取得的條件．
（3）由偶函數的圖象關于y軸（x=0）對稱，將f（x+1）的圖象向右平移1個單位后得到f（x）的圖象，根據函數圖象的平移，對稱軸也跟著平移的原則，可得答案．
（4）利用A（0，1），B（3，-1）是其圖象上的兩點⇒f（0）=1，f（3）=-1，所以|f（x+1）|＜1 轉化為f（3）＜f（x+1）＜f（0），再利用單調性得出結論．
（5）將函數y=cos2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=cos（2x+

π

2

）的圖象．

解答：解：（1）當sinA=sinB時，則有A=B，則△ABC為等腰三角形，
故sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的充分條件，
反之，當△ABC為等腰三角形時，不一定是A=B，
若A=C≠60時，則sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的不必要條件，
故△ABC中，sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的充分不必要條件，即（1）正確；
（2）y=2

1-x

+

2x+1

的定義域為[-

1

2

，1]，
∴y²=5-2x+2

1-x

•

2x+1

=5-2x+2

2

1-x

•

x+ 2 2

≤5-2x+

2

2

[（1-x）+（x+

2

2

）]=

11+ 2

2

-2x，
當且僅當x=

2- 2

4

時，取等號，即y²≤

11+ 2

2

-

2- 2

2

=

9+2 2

2

，
∴y=2

1-x

+

2x+1

的最大值為

9+2 2 2

，故（2）不正確；
（3）∵f（x+1）是偶函數，
∴函數f（x+1）的圖象關于y軸（x=0）對稱
將函數f（x+1）的圖象向右平移1個單位后得到f（x）的圖象
故f（x）的圖象關于x=1對稱，故（3）正確；
（4）∵f（x）在R上減，其圖象過A（0，1），B（3，-1），
∴f（0）=1，f（3）=-1，
∵|f（x+1）|＜1，
∴f（3）＜f（x+1）＜f（0），
∴0＜x+1＜3，故-1＜x＜2，故（4）正確；
（5）將函數y=cos2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=cos（2x+

π

2

）的圖象，故（5）不正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點評：本題主要考查了必要條件，充分條件，與充要條件的判斷．解題的時候注意條件的先后順序．