Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥PE；
（3）求二面角A-PB-E的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵D、E分別為AB、AC中點，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）連接PD，
∵PA=PB，D為AB中點，
∴PD⊥AB．…．（5分）
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB…（6分）
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE…（8分）
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE…（9分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，由PA=PB=AB=2，BC=3，
則B（1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，

3

2

，0），
∴

PB

=（1，0，-

3

），

PE

=（0，

3

2

，-

3

）．
設平面PBE的法向量

n1

=(x，y，z)，
∴

x- 3 z=0 3 2 y- 3 z=0

令z=

3

得

n1

=(3，2，

3

)…（11分）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量為

n2

=(0，1，0)．…（12分）
設二面角的A-PB-E大小為θ，
由圖知，cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，
所以θ=60°，
即二面角的A-PB-E大小為60°…（14分）