Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= ．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求 的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中點為O，連接CO，PO，
∵CD=AC= ，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：
則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
則 ， ，
設 為平面PCD的法向量，
則由 ，得 ，則 ．
設PB與平面PCD的夾角為θ，則 = ；
（Ⅲ）解：假設存在M點使得BM∥平面PCD，設 ，M（0，y1 ， z1），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1）， ，B（1，1，0）， ，
則有 ，可得M（0，1﹣λ，λ），
∴ ，
∵BM∥平面PCD， 為平面PCD的法向量，
∴ ，即 ，解得 ．
綜上，存在點M，即當 時，M點即為所求．

【解析】（Ⅰ）由已知結合面面垂直的性質可得AB⊥平面PAD，進一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進一步求出向量 的坐標，再求出平面PCD的法向量 ，設PB與平面PCD的夾角為θ，由 求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設存在M點使得BM∥平面PCD，設 ，M（0，y1 ， z1），由 可得M（0，1﹣λ，λ）， ，由BM∥平面PCD，可得
，由此列式求得當 時，M點即為所求．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系的相關知識點，需要掌握直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點才能正確解答此題．