Question

等比數列{x_n}各項均為正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11
（1）求證：數列{y_n}是等差數列；
（2）數列{y_n}的前多少項的和為最大？最大值是多少？
（3）求數列{|y_n|}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）要證數列{y_n}是等差數列，只需證y_n+1-y_n為定值即可；
（2）由（1）知{y_n}是等差數列，知y₄=17，y₇=11，可求y_n，由y_n≥0可判斷其前多少項的和為最大，從而可求其最大值；
（3）由（2）可知當n≤12時y_n＞0；當n≥13時，y_n＜0，求數列{|y_n|}的前n項和需分 當1≤n≤12 與當n≥13兩種情況分別求得．

解答：解：（1）∵{x_n}是等比數列，設其公比為q，

xn+1

xn

 =q（定值），y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_aq（是定值），
    所以數列{y_n}是等差數列．                                     4'
   （2）由（1）知{y_n}是等差數列，y₇=y₄+3d即 11=17+3d
∴d=-2，y_n=17+（n-4）d=25-2n6'
    由25-2n≥0得n≤

25

2

    當n≤12時y_n＞0；當n≥13時，y_n＜0所以數列{y_n}的前12項和最大；
∵y₁=23，
∴最大值S12=12×23+

12×11

2

(-2)=144；                           9′
   （3）Sn=23n+

n(n-1)

2

(-2)=24n-n2設{|y_n|}的前n項和為T_n，
∵當n≤12時y_n＞0；當n≥13時，y_n＜0，
∴當1≤n≤12時 T_n=S_n=24n-n²11′
   當n≥13時，T_n=a₁+a₂+…+a₁₂-a₁₃-…-a_n=S₁₂-（S_n-S₁₂）=2S₁₂-S_n=2×144-24n+n²13′
   所以Tn=

24n-n2  (1≤n≤12) n2-24n+288    (n≥13)

(n∈N*)                  14'

點評：本題考查等差數列的求和，重點考查等差數列通項公式的靈活運用，由通項公式判斷前n項和的最值是亮點，難點在于（3）中的分類討論求和，屬于中檔題．