Question

（05年山東卷）(12分)

如圖，已知長方體直線與平面所成的角為，垂直于，為的中點.

（I）求異面直線與所成的角；

（II）求平面與平面所成的二面角；

（III）求點到平面的距離.

Answer 1

解析：解法一：在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系

由已知可得，

又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得

（I）                   因為

所以=

易知異面直線所成的角為

（II）易知平面的一個法向量設(shè)是平面的一個法向量，由

即

∴

即平面與平面所成的二面角的大小（銳角）為

（III）點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值，

∴距離=所以點到平面的距離為

解法二：(I)連結(jié)B₁D₁，過F作B₁D₁的垂線，垂足為K

∵BB₁與兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直

∴

又

因此FK∥AE

∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角

連結(jié)BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK

從而△BKF為Rt△

 

在Rt△B₁KF和Rt△B₁D₁中，由得

    又BF=

∴∠BFK=

∴異面直線所成的角為

(II)由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，連結(jié)DG，由三垂線定理知BG⊥DG

∴∠AGD即為平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°

在平面AA₁B中，延長BF與AA₁交于點S

∵F為A₁B₁的中點，A₁F

∴A₁、F分別為SA、SB的中點，即SA=2A₁A=2=AB

∴Rt△BAS為等腰三角形，垂足G點實為斜邊SB的中點F，即G、F重合。

易得AG=AF=SB=

在Rt△BAS中，AD=

∴∠AGD=

即平面BDF與平面AA₁B所成二面角(銳角)的大小為。

(III)由(II)知平面AFD是平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角所成的平面。

∴面AFD⊥平面BDF

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離

由AH?DF=AD?得

AH=

所以點到平面的距離為