Question

先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：

已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：＋≥.

證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)對一切實數x∈R，恒有f(x)≥0，則Δ＝4－8(＋)≤0，∴＋≥.

(1)已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述結論的推廣式；

(2)參考上述解法，對你推廣的結論加以證明．

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，

則＋＋…＋≥.

(2)構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2

＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋＋＋…＋

＝nx2－2x＋＋＋…＋，

f(x)對一切實數x∈R，恒有f(x)≥0，

則Δ＝4－4n(＋＋…＋)≤0，

∴＋＋…＋≥