Question

【題目】已知函數，若曲線上始終存在兩點，使得，且的中點在軸上，則正實數的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

假設曲線上存在兩點滿足題設要求,則點只能在軸兩側，設,根琚題意,可得 ,且斜邊的中點在軸上，得到的坐標，將是否存在兩點滿足題意等價轉化成關于的方程是否有解的問題，再對分類討論，運用導數求解，即可得到結果.

假設曲線上存在兩點滿足題意，則點只能在軸兩側，

是以為直角頂點的直角三角形，

，

不妨設，

斜邊的中點在軸上，

且，

，

，①

曲線上始終存在兩點使得,等價于方程①有解,

(1)當，即兩點都在上 ,

，

代入方程①，得，

，

而此方程無實數解,不符合題意,

（2）當時，在上，在上，

，代入①得，因為為正數可化為

，設，

，

，遞減，

，

時，，遞減，

時，，遞增，

，

即結合為正數，可得，

的范圍是，故選C.