Question

已知數列{a_n}的每一項都是正數，滿足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差數列{b_n}的前n項和為T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）比較

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

與2的大小；
（3）若

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

＜c恒成立，求整數c的最小值．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，進而求得a_n+1=2a_n，數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，進而根據等比數列通項公式求得a_n，根據b₂=3，T₅=25．求得等差數列的首項和公差進而求得b_n．
（2）由（1）得T_n，進而求得

1

Tn

，先看當n=1時

1

T1

＜2，進而利用

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

利用裂項法求和，進而求得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜2-

1

n

＜2．
（3）令P_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

．把（1）中求得的a_n和b_n代入P_n，利用錯位相減法求得P_n，進而判斷P_n遞增，求得P_n的范圍，進而求得c的最小值．

解答：解：（1）a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0
得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，
由于數列{a_n}的每一項都是正數，∴a_n+1=2a_n，∴a_n=2ⁿ．
設b_n=b₁+（n-1）d，由已知有b₁+d=3，5b₁+

5×4

2

d=25，
解得b₁=1，d=2，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得T_n=n²，∴

1

Tn

=

1

n2

，
當n=1時，

1

T1

=1＜2．
當n≥2時，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜1+

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．
（3）記P_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

．
∴

1

2

P_n=

1

22

+

3

23

++

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得P_n=3-

2n+3

2n

．
∵P_n遞增，∴

1

2

≤P_n＜3，P₄=

37

16

＞2，
∴最小的整數c=3．

點評：本題主要考查了等差數列的性質和數列的求和問題．對于一些常用的數列的求和方法如公式法、錯位相減法、疊加法、裂項法等應熟練掌握．