Question

已知函數f（x）=cos2x+

3

sin2x
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）當 x∈[0，

π

4

]時，求函數f（x）的值域；
（3）若將該函數圖象向左平移

π

4

個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的對稱中心．

Answer 1

分析：（1）先化簡函數的表達式，然后求通過函數y=sinx的單調增區間，再求函數 f（x）=2sin（2x+

π

6

）的單調遞增區間．
（2）當 x∈[0，

π

4

]時，求出

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，然后求函數f（x）的值域；
（3）將該函數圖象向左平移

π

4

個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象對應的函數的表達式，利用正弦函數的對稱中心求函數y=g（x）的對稱中心．

解答：解：（1）函數f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）令u=2x+

π

6

則函數y=sinu的單調增區間為 [-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z（5分）
由 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得：
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπk∈Z
函數y=2sin（2x+

π

6

）的單調增區間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（2）當 x∈[0，

π

4

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，2sin（2x+

π

6

）∈[1，2]，
所以函數f（x）的值域[1，2]．
（3）若將該函數圖象向左平移

π

4

個單位長度，得到函數y=g（x）=2sin（[2（x+

π

4

）+

π

6

]=2sin（2x+

2π

3

）的圖象，
令2x+

2π

3

=kπ．k∈Z  x=-

π

3

 +

kπ

2

  k∈Z．
所以函數y=g（x）的對稱中心（-

π

3

+

kπ

2

，0） k∈Z．

點評：本題的考點是復合三角函數的單調性，即利用三角函數的相關公式對解析式進行整理，由正弦函數的單調性和整體思想求解．函數的對稱中心的求法，圖象的變換注意x的系數．