Question

（2008•湖北模擬）關(guān)于函數(shù)f(x)=

e-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a為常數(shù)，且a＞0）對(duì)于下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小值為-1；
②函數(shù)f（x）在每一點(diǎn)處都連續(xù)；
③函數(shù)f（x）在R上存在反函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在x=0處可導(dǎo)；
⑤對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁＜0，x₂＜0且x₁＜x₂，恒有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

其中正確命題的序號(hào)是

①②⑤

．

Answer 1

分析：①只需說(shuō)明在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②函數(shù)在點(diǎn)x=0處兩段都有意義且函數(shù)值都為-1，故②正確
③函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)
④只需說(shuō)明在x=0時(shí)，兩段導(dǎo)函數(shù)都有意義且函數(shù)值相等；
⑤結(jié)合已知指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)可知，已知函數(shù)在R上先增后減，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方

解答：解：①由題意可得函數(shù)在x＜0時(shí)單調(diào)遞減，在x＞0時(shí)單調(diào)遞增，在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1，故①正確
②只需說(shuō)明在點(diǎn)x=0處連續(xù)，只需說(shuō)明在x=0時(shí)，兩段都有意義且函數(shù)值相等；
③函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，故不存在反函數(shù)，故③錯(cuò)誤
④f′(x)=

-e-x，x≤0 2a，x＞0

，故④錯(cuò)誤
⑤結(jié)合已知指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在R上先增后減，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方，故⑤正確
故答案為：①②⑤

點(diǎn)評(píng)：連續(xù)就是函數(shù)圖象不間斷，在x=0可導(dǎo)就是導(dǎo)函數(shù)在兩段導(dǎo)函數(shù)都有意義且函數(shù)值相等，函數(shù)在某一區(qū)間上不單調(diào)，就不會(huì)有導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)圖象，知下凸的函數(shù)圖象，任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方．