Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且僅有唯一的實(shí)數(shù)x值滿足f（x）≤0的實(shí)數(shù)x值滿足f（x）≤0．
（1）在數(shù)列{a_n}中，滿足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通項(xiàng)；
（2）在數(shù)列{a_n}中依次取出第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第4項(xiàng)…第2^n-1項(xiàng)…組成新數(shù)列{b_n}，求新數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）（理科）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n+c_n+1=2n+3，c₁=1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和記作H_n，試比較H_n與題（1）中S_n的大小．
（4）（文科）設(shè)c_n=的最大和最小值．

Answer 1

解（1）∵f（x）≤0僅有唯一的x值滿足，∴△=0，∴a=0或4，∵a≠0，∴a=4
S_n=n²-4n，a_n==2n-5
（2）b_n：b₁=2×1-5，b₂=2×2-5，b₃=2×4-5，…b_n=2×2^n-1-5
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1+2+4+…+2^n-1）-5n
=2-5n-2
（3）（理科），∴c_n+2-c_n=2，c₁=1，c₂=4
c_n：1，3，5，7，9…
4，6，8，10…
當(dāng)n為偶數(shù)，n=2k，H_n=5+9+13+…=5k+
當(dāng)n為奇數(shù)，n=2k-1，H_n=1+（7+11+15+…）
=1+7（k-1）+
∴H_n=
當(dāng)n=2k與n=2k-1時(shí)，分別比較H_n與S_n大小（作差比較）
當(dāng)1≤n≤10時(shí)，H_n＞S_n
當(dāng)n≥11時(shí)，H_n＜S_n
（4）（文科）c_n=
c₁=，c₂=-2，當(dāng)n≥3時(shí)，4n+單調(diào)遞增，且4n+-16＞0，
∴（c_n）_min=c₂=-2；∴（c_n）_max=c₃=1
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，，△=0，解方程得出a的值，得出S_n=的解析式，利用數(shù)列中Sn與a_n的固有關(guān)系an=，求出{a_n}的通項(xiàng)
（2）由已知，得出b_n=2×2^n-1-5，采用等比數(shù)列求和公式，分組法求和．
（3）（理）由得出c_n+2-c_n=2，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，對(duì)n分奇偶性分類求和．
（4）（文）c_n=利用函數(shù)的數(shù)列性質(zhì)，得出{c_n }的單調(diào)性，再求出最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的判定，數(shù)列公式法、分組法求和，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)．考查推理論證、計(jì)算能力，分類討論的思想．