Question

已知函數(shù)函f（x）=x|x|-2x  （x∈R）
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
（2）作出函數(shù)f（x）=x|x|-2x的圖象；
（3）討論方程x|x|-2x=a根的情況．

Answer 1

分析：（1）利用零點分段法，我們易將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)分段函數(shù)奇偶性的判判斷方法，分類討論，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式及二次函數(shù)圖象的畫法，即可得到函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)（2）中的圖象，結(jié)合函數(shù)的極大值為1，極小值為-1，我們易分析出方程x|x|-2x=a根的情況．

解答：解：（1）∵f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∴當(dāng)x＞0時，-x＜0，故f（-x）=-x²+2x，=-f（x）
當(dāng)x＜0時，-x＞0，故f（-x）=x²+2x=-f（x）
當(dāng)x=0時，-x=0，故f（-x）=-f（x）=0
綜上函數(shù)f（x）=x|x|-2x為奇函數(shù)
（2）由（1）中f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

則函數(shù)的圖象如下圖所示：

（3）由圖可知：
當(dāng)a＜-1，或a＞1時，方程x|x|-2x=a有一個根；
當(dāng)a=-1，或a=1時，方程x|x|-2x=a有二個根；
當(dāng)-1＜a＜1時，方程x|x|-2x=a有三個根；

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)奇偶性的判斷及二次函數(shù)的圖象，其中要判斷方程x|x|-2x=a根的情況．關(guān)鍵是要畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論．