Question

（本小題滿分14分）
設函數的定義域為R，當x＜0時，＞1，且對任意的實數x，y∈R，有.
(1)求,判斷并證明函數的單調性；
(2)數列滿足,且，
①求通項公式；
②當時，不等式對不小于2的正整數
恒成立，求x的取值范圍.

Answer 1

f（x）在R上減函數
（1，+∞）

解：(1) 時，f（x）＞1；
令x=－1，y=0則f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1，
∴f（0）="1" ．   ……………………………2分
若x＞0，則f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故，
故x∈R  f（x）＞0．…………………………………………………4分
任取x₁＜x₂，，
，
故f（x）在R上減函數．……………………………6分
(2) ① ，…………8分
由f（x）單調性得 a_n+1=a_n+2 ， 故{a_n}等差數列 ， ．………………9分
②，

是遞增數列．………………………11分
當n≥2時，，

，……………………………12分
即．
而a＞1，∴x＞1，
故x的取值范圍（1，+∞）．……………………………14分