Question

已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x²+y²=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數λ（λ>0）.求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線。

Answer 1

當λ=1時，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點（，0）；
當λ≠1時，方程化為它表示圓，圓心的坐標為（），半徑為。

試題分析：
思路分析：利用“直接法”求得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
討論λ=1和λ≠1的兩種情況。
當λ=1時，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于
點（，0）；
當λ≠1時，方程化為它表示圓，圓心的坐標為（），半徑為。
解：設MN切圓于N，則動點M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數λ＞0．因為圓的半徑|ON|=1，
所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
設點M的坐標為（x，y），則，
整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
經檢驗，坐標適合這個方程的點都屬于集合P．故這個方程為所求的軌跡方程．
當λ=1時，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于
點（，0）；
當λ≠1時，方程化為它表示圓，圓心的坐標為（），半徑為。
點評：中檔題，求軌跡方程方法較多，本題利用直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．