Question

如圖所示，點F(

p

2

，0)(p＞0)，點P為拋物線C：y²=2px上的動點，P到y(tǒng)軸的距離PN滿足：|PF|=|PN|+

1

2

，直線l過點F，與拋物線交于A，B兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設點Q（a，0）（a＜0），若直線l垂直于x軸，且向量

QA

和

QB

的夾角為

π

3

，求a的值；
（3）設M為線段AB的中點，求點M到直線y=x+1距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，F(xiàn)是拋物線的焦點，又|PF|等于點P到準線x=-

p

2

的距離，求出P值，最后寫出拋物線的方程即可．
（2）過F的直線l與x軸垂直，不妨設A(

1

2

，1)，因為A，B關于x軸對稱，結合向量的夾角，得出向量

QA

與x軸所成的角為

π

6

，從而列出關于a的等式，即可求得a．
（3）設直線AB的方程為x=my+

1

2

，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用中點公式及點到直線的距離公式即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）以題意，F(xiàn)是拋物線的焦點，又|PF|等于點P到準線x=-

p

2

的距離，
所以

p

2

=

1

2

，p=1，所以拋物線的方程為y²=2x．
（2）過F的直線l與x軸垂直，不妨設A(

1

2

，1)，
因為A，B關于x軸對稱，向量

QA

和

QB

的夾角為

π

3

，則向量

QA

與x軸所成的角為

π

6

，
又知Q（a，0），則

1

1 2 -a

=

3

3

，得a=

1

2

-

3

．
（3）設直線AB的方程為x=my+

1

2

，代入y²=2x得y²-2my-1=0．
因為△=4m²+4＞0恒成立，所以直線x=my+

1

2

與拋物線恒有兩個交點．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB中點M的坐標為(m2+

1

2

，m)．
所以點M到直線y=x+1的距離d=

|m2+ 1 2 -m+1|

2

=

(m- 1 2 )2+ 5 4

2

≥

5 2

8

．
當且僅當m=

1

2

時取等號．
所以點M到直線y=x+1距離的最小值為

5 2

8

．

點評：本小題主要考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．