Question

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是菱形，∠ABC=60°，E、F分別是棱CC′與BB′上的點，且EC=BC=2FB=2．
（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF與底面ABCD的夾角的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，證明線面垂直，進而證明面面垂直；
（2）先確定二面角的平面角，再計算二面角的平面角即可．

解答：解：以O為原點，OB、OC、OO′分別為x，y，z軸，建立直角坐標系，
由條件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB=

3

，從而坐標E（0，1，2），F（

3

，0，1）．
（1）連接AE與OO'交于M，連接MF，
可得MO=

1

2

EC=1，M（0，0，1），

MF

=（

3

，0，0）．
則MF⊥平面yOz，即MF⊥平面A'ACC'，
所以平面AEF⊥平面A'ACC'．
（2）取EC中點G，得平面MFG∥底面ABCD，
所以只要求面AEF與面MFG所成的二面角即可．
∵G（0，1，1），

ME

=(0，1，1)，

MG

=(0，1，0)
∴

MF

•

ME

=0，

MF

•

MG

=0
∴

MF

⊥

ME

，

MF

⊥

MG

∴∠EMG是二面角的平面角
在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=

2

，∴∠EMG=

π

4

，∴所求角為

π

4

．

點評：本題考查利用向量方法解決面面垂直、面面角，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，用坐標表示向量．