Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁與它的側視圖（或稱左視圖），E是DD₁上一點，AE⊥B₁C．
（1）求證AE⊥平面B₁CD；
（2）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證AE⊥平面B₁CD，由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，可知CD⊥ADD₁A₁，則CD⊥AE，結合AE⊥B₁C，即可證
（2）由AE⊥平面B₁CD，可得AE⊥B₁C，進而可得AE⊥A₁D，則可得△ADE∽△A₁AD，有

AD

DE

=

AA 1

AD

，從而可求DE，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，DE是三棱錐E-ACD的高，代入三棱錐E-ACD的體積V_E-ACD=

1

3

×

1

2

×AD×CD×DE可求

解答：證明：（1）因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以CD⊥平面ADD₁A₁…（2分）
AE?平面ADD₁A₁，所以CD⊥AE…（3分）
因為AE⊥B₁C，CD∩B₁C=C，所以AE⊥平面B₁CD…（5分）
解：（2）連接A₁D，因為AE⊥B₁CD，所以AE⊥B₁C…（6分），
因為A₁D∥B₁C
所以AE⊥A₁D…（7分）
所以△ADE∽△A₁AD…（8分），所以

AD

DE

=

AA 1

AD

…（9分）
因為AD=2，AA₁=4
所以，DE=

AD2

AA1

=

2×2

4

=1（10分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以DE是三棱錐E-ACD的高…（11分），
所以三棱錐E-ACD的體積V_E-ACD=

1

3

×

1

2

×AD×CD×DE=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

…（13分）．

點評：本題考查證明線面垂直的判定定理的應用，三棱錐的體積的求解，其中根據三視圖中的左視圖得到正四棱錐的相關數據是求解的關鍵