Question

【題目】已知數列滿足，，，記數列的前項和為，則對任意，則①數列單調遞增；②；③；④．上述四個結論中正確的是______．（填寫相應的序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先證明當時，總有，再利用數學歸納法證明，最后再利用導數及均成立，從而可得正確的選項.

先證明一個性質：當時，總有(★).

證明：令，其中，

，為上的減函數，

因，，故在存在唯一的零點.

當時，；當時，，

故在為增函數，在為減函數，

因，故當時，總有即，

從而性質得證.

令，由已證性質則有，

故對任意的恒成立.

以下用數學歸納法證明：當時，總有

因為，所以成立.

設當時，，因，故即，

所以時，也有成立，

由數學歸納法可知：對任意的，總有.

由性質★可得即，故數列單調遞增，所以①正確.

令，其中.

則，在為減函數且，

所以在為減函數，

所以當時，有即，

所以即，整理得到：，其中

故

，

累加后可得即，故②正確.

令，其中

則，在為減函數，

而，，

所以在存在一個零點，

當時，；當時，，

故在為增函數，在為減函數，

而，所以當時，恒成立，

所以在上恒成立.

故當時，總有成立即成立，故③正確.

因為，故即，

因為，由累乘可得，

整理得到，

當時，則有，

故，此時有，故④不成立.

綜上，四個結論中正確的是①②③.

故答案為：①②③.