Question

設,分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求的取值范圍；

（3）作直線與橢圓交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）或； （3）滿足條件的實數的值為或.

【解析】

試題分析：（1）設,的坐標分別為,其中

由題意得的方程為:

根據到直線的距離為,可求得，

將與聯立即可得到.

（2）設,，由可得，代人橢圓的方程得，即可解得或.

（3）由, 設，根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為，代入橢圓的方程,整理得:

由韋達定理得,則,

得到線段的中點坐標為.注意討論，的情況，確定的表達式，求得實數的值.

方法比較明確，運算繁瑣些；分類討論是易錯之處.

試題解析：（1）設,的坐標分別為,其中

由題意得的方程為:

因到直線的距離為,所以有,解得 2分

所以有 ①

由題意知: ,即 ②

聯立①②解得:

所求橢圓的方程為 4分

（2）由(1)知橢圓的方程為

設,，由于,所以有

7分

又是橢圓上的一點,則

所以

解得：或 9分

（3）由, 設

根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達定理得,則,

所以線段的中點坐標為

(1)當時, 則有,線段垂直平分線為軸

于是

由,解得: 11分

(2) 當時, 則線段垂直平分線的方程為

因為點是線段垂直平分線的一點

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

綜上, 滿足條件的實數的值為或. 14分

考點：橢圓的幾何性質，點到直線的距離公式，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的坐標運算.