Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的極值；

（3）判斷在上的單調性，并加以說明.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析;（3）見解析

【解析】試題分析 ：（1）由題意可知，， ，求出切點和斜率，由點斜式可求切線方程。（2）， ，定義域導數等于0的根為1，據此可求出極值。（3）由（1）（2）可知， 均滿足在

上單調遞增，所以如果有統計單調性的話，一定是單調遞增，所以要證對恒成立。而在上遞增， >0恒成立，即證。

試題解析：（1）∵，∴，∴，∵，

∴曲線在點處得切線方程為，即.

（2）∵，∴，

令，得；令，得且.

∴在上遞增，在和上遞減.

故在處取得極小值，且極小值為， 無極大值.

（3）在上遞增.

證明如下：

要證在上遞增，

只要證對恒成立，

即證對恒成立.

∵在上遞增，∴.

故要證對恒成立，

只要證對恒成立，

即證對恒成立，即證對恒成立，

∵，∴，∴對恒成立，

故在上遞增.