Question

（本小題滿分12分）已知數(shù)列為方向向量的直線上，   （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 

 （II）求證：（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；  

（III）記

求證：

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)見解析（Ⅲ）見解析

解析:

（I）解：由題意，      1分

             1

       為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。    1分

            1分

   （Ⅱ）證明：

      

       構(gòu)造輔助函數(shù)

       單調(diào)遞增，

       令

       則

          4分

   （III）證明：

      

      

      

       時(shí)，

      

       （當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)）。3分

       另一方面，當(dāng)時(shí)，

      

      

             

      

       （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。

       （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。

       綜上所述，有      2分