Question

在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=x²．實數p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點，A（p₀，p₀²）（p₀≠0），作L的切線交y軸于點B．證明：對線段AB上的任一點Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點分別為E（p₁，），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F′．線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=．
（3）設D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}．當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）

Answer 1

解：（1）k_AB=y′|_x=p0=p₀，
直線AB的方程為y-p₀²=p₀（x-p₀），即y=p₀x-p₀²，
∴q=p₀p-p₀²，方程x²-px+q=0的判別式△=p²-4q=（p-p₀）²，
兩根x_1，2==或p-，
而|p-|=||p|-|||，又0≤|p|≤|p₀|，
∴，得|p-|=||p|-|||，
∴φ（p，q）=；

（2）由a²-4b＞0知點M（a，b）在拋物線L的下方，
①當a＞0，b≥0時，作圖可知，若M（a，b）∈X，則p₁＞p₂≥0，
得|p₁|＞|p₂|；顯然有點M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
②當a＞0，b＜0時，點M（a，b）在第二象限，作圖可知，若M（a，b）∈X，則p₁＞0＞p₂，
且|p₁|＞|p₂|；
顯然有點M（a，b）∈X，
∴顯然有點M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
根據曲線的對稱性可知，當a＜0時，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
綜上所述，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|． （*）
由（1）知點M在直線EF上，方程x²-ax+b=0的兩根x_1，2=或a-，
同理知點M在直線E′F′上，方程x²-ax+b=0的兩根x_1，2=或a-，
若φ（a，b）=，則不比|a-|、、|a-|小，
∴|p₁|＞|p₂|；又|p₁|＞|p₂|?M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=?M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X?φ（p，q）=；
∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=，綜合（*）式，得證．

（3）聯立y=x-1，y=（x+1）²-得交點（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
過點（p，q）拋物線L的切線，設切點為（x₀，x₀²），則，
得x₀²-2px₀+4q=0，解得x₀=p+，
又q≥（p+1）²-，即p²-4q≤4-2p，
x₀≤p+，設=t，x₀≤=≤，
∴φ_max=；
而x₀≥p+=p+|p-2|=2，
∴φ_min==1．
分析：（1）求導，寫出過點A（p₀，p₀²）（p₀≠0）L的切線方程，求得點B的坐標，即可證得結果；
（2）求出過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，根據φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}，比較、|a-|、、|a-|的大小，即可證得結論；
（3）聯立y=x-1，y=（x+1）²-求得交點坐標，利用導數求過點（p，q）拋物線L的切線方程，求得切點坐標，轉化為求函數的最值問題．
點評：此題是個難題．本題考查了利用導數研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題形式是個新定義問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．