Question

已知關(guān)于t的方程t²-2t+a=0一個根為1+

3

i．(a∈R)
（1）求方程的另一個根及實(shí)數(shù)a的值；
（2）若x+

a

x

≥m2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可以把根1+

3

i代入方程，化簡求出a的值．
（2）由x+

a

x

≥m2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，得到（x+

a

x

）最小值≥m²-3m+6即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）關(guān)于t的方程t²-2t+a=0的一個根為1+

3

i（a∈R），
所以有（1+

3

i）²-2（1+

3

i）+a=0
所以a=4，
方程的另一個根為：1-

3

i．
（2）由x+

a

x

≥m2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，
（x+

a

x

）最小值≥m²-3m+6；⇒4≥m²-3m+6
∴m²-3m+2≤0
∴1≤m≤2，
試求實(shí)數(shù)m的取值范圍[1，2]．

點(diǎn)評：本題考查方程的根的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的最值問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了方程虛根的求法，恒成立問題的解答規(guī)律以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．