Question

已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點.

⑴求證：平面PAD⊥面PBD;
⑵當Q在什么位置時，PA∥平面QBD?

Answer 1

⑴詳見解析；⑵當時，PA∥平面QBD.

試題分析：（1）要證面面垂直，先證線面垂直，所以首先考慮證哪條線垂直哪個面.由于PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AD.又在底面ABCD可證得AD⊥BD，這樣可證得AD⊥平面PBD，進而得平面PAD⊥平面PBD；⑵要使得PA∥平面QBD，必須使得平面QBD內有一條直線與PA平行，為了找這條直線，先作過PA與平面QBD相交的平面，只要交線與PA平行即可.
試題解析：⑴∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=AB,
設BC=1，則AD=BD=，∴
又PB⊥平面ABCD.∴PB⊥AD
又因為BD，PB在平面PBD內，且BD與PB相交，
∴AD⊥平面PBD
又AD面PAD，
所以平面PAD⊥平面PBD。       6分
(2)當時，PA∥平面QBD，證明如下：
連結AC交BD于點M，
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
過PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       12分