Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小為60°，求異面直線BC₁與AC所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（Ⅰ）欲證明直線與平面垂直，可以先證明直線與直線垂直，由BD⊥CC₁，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）先將二面角C₁-BD-C的大小為60°，轉化為對應的平面角的大小，根據三垂線定理可知：∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，∴∠C₁OC=60°，接著就可以求解異面直線BC₁與AC所成角的大小．求異面直線所成的角，可用幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．連接A₁B．∵A₁C₁∥AC，∴∠A₁C₁B是BC₁與AC所成的角．
解法二：
在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，也可以建立空間直角坐標系，設定參量求解．這種解法的好處就是：1、解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．2、即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．建立空間直角坐標系D-xyz，設AD=a，DD₁=b，則有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C₁（0，a，b）
（Ⅰ）、

BD

=(-a，-a，0)，

AC

=(-a，a，0)，

CC1

=(0，0，b)，∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

CC1

=0，
∴BD⊥AC，BD⊥CC₁，又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）設BD與AC相交于O，連接C₁O，則點O坐標為(

a

2

，

a

2

，0)，

OC1

=(-

a

2

，

a

2

，b)，先將二面角C₁-BD-C的大小為60°，轉化為對應的平面角的大小，通過計算可知：∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，∴∠C₁OC=60°，接著就可以求解異面直線BC₁與AC所成角的大小．

解答：解：法一：
（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC₁
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）設BD與AC相交于O，連接C₁O．
∵CC₁⊥平面ADCD
∴BD⊥AC，
∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴∠C₁OC=60°．連接A₁B．
∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是BC₁與AC所成的角．
設BC=a，則
CO=2

2

2

a，CC1=CO•tan60°．A1B=BC1=

10

2

a．A1C1=

2

a．
在△A₁BC₁中，由余弦定理得cosA₁C₁B=

A1 C 2 1 +B C 2 1 -A1B2

2A1C1•BC1

=

5

5

，
∴∠A₁C₁B=arccos

5

5

'
∴異面直線BC₁與AC所成角的大小為arccos

5

5

．

法二：
（Ⅰ）建立空間直角坐標系D-xyz，如圖．
設AD=a，DD₁=b，則有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C₁（0，a，b），
∴

BD

=(-a，-a，0)，

AC

=(-a，a，0)，

CC1

=（0，0，b），∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

CC1

=0，
∴BD⊥AC，BD⊥CC₁，
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．

（Ⅱ）設BD與AC相交于O，連接C₁O，
則點O坐標為(

a

2

，

a

2

，0)，

OC1

=(-

a

2

，

a

2

，b)，
∵

BD

•

OC1

=0，∴BD⊥C₁O，又∵BD⊥CO，
∴∠C₁OC是二面角C₁BDC的平面角，∴∠C₁OC=60°，
∵tanC₁OC=

CC1

OC

=

b

2 2 a

=

3

，∴b=

6

2

a．
∵

AC

=(-a，a，0)，

BC1

=（-a，0，b），
∴cos?

AC

，

BC1

＞=

AC • BC1

|AC |•| BC1|

=

5

5

，
∴異面直線BC₁與AC所成角的大小為arccos

5

5

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、異面直線所成的角等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．