Question

(本小題滿分12分) 如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=,高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記BE＝x，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.

（Ⅰ）求V(x)的表達(dá)式；   

（Ⅱ）當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？

 

Answer 1

【答案】

(1) V(x)== = ，(0<x<3)

(2) x=6時(shí)， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12

【解析】（1）由已知可得PE為四棱錐的高，四棱錐的底面積

 ，又，=，

=代入體積公式得，(0<x<3)；

（2）多項(xiàng)式函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可求得最值。

解：(1)已知EFAB,那么翻折后，顯然有PEEF,又PEAE,

從而PE面ABC,即PE為四棱錐的高。

四棱錐的底面積 

而△BEF與△BDC相似，那么=，

==，

又   

則===

故四棱錐的體積V(x)== = ，(0<x<3)

(2) V’(x)=  ，(0<x<3)     令V’(x)=0得x=6

當(dāng)x∈(0，6)時(shí)，V’(x)>0,V(x)單調(diào)遞增；x∈(6，3)時(shí)V’(x)><0,V(x)單調(diào)遞減；

因此x=6時(shí)， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12