Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的頂點在原點，其焦點F在x軸的正半軸上，過點F作x軸的垂線與W交于A、B兩點，且點A在第一象限，|AB|=8，過點B作直線BC與x軸交于點T（t，0）（t＞2），與拋物線交于點C．
（1）求拋物線W的標準方程；
（2）若t=6，曲線G：x²+y²-2ax-4y+a²=0與直線BC有公共點，求實數a的取值范圍；
（3）若|OB|²+|OC|²≤|BC|²，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

（1）設拋物線的方程為y²=2px，（p＞0）
令x=

p

2

，得y²=p²
所以2p=|AB|=8
拋物線的方程為y²=8x．…（4分）
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），則直線BC的方程為x-y-6=0…（5分）
曲線G：（x-a）²+（y-2）²=4，是以（a，2）為圓心，2為半徑的圓…（6分）
由題意

|a-2-6|

2

≤2，解得8-2

2

≤a≤8+2

2

．…（8分）
（3）直線BT的方程為y=

4

t-2

(x-t)，代入拋物線方程y²=8x，得：
2x²-（t²+4）x+2t²=0
因為t＞2，所以△=t⁴-8t²+16=（t²-4）²＞0．…（9分）
因為x=2是這個方程的一個根，設C（x_C，y_C）根據韋達定理2x_C=t²，所以xC=

t2

2

再由拋物線方程可得y_C=2t，即點C(

t2

2

，2t)．…（10分）
因為|OB|²+|OC|²≤|BC|²，所以∠BOC為鈍角或直角
所以

OB

•

OC

≤0，即2x_C-4y_C≤0，t²-8t≤0，且t＞2，解得2＜t≤8．…（12分）
ABC的面積S_△ABC=

1

2

|AB|•(xC-2)=2t2-8
所以當t=8時，S_△ABC最大值為120．…．（14分）