Question

（2012•青州市模擬）給出下列六個命題：
①函數f（x）=lnx-2+x在區間（1，e）上存在零點；
②若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③若m≥-1，則函數y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R；
④“a=1”是“函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．
⑤函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l-x）的圖象關于y軸對稱；
⑥滿足條件AC=

3

，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有兩個．
其中正確命題的個數是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：根據函數零點的判定定理可得①正確． 通過舉反例可得②不正確．
根據對數的真數可取遍所有的正實數，可得此對數函數的值域為R，故③正確．
根據a=1時，函數在定義域上是奇函數，再根據函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數時，a=±1，可得④正確．
由函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l-x）的圖象關于y軸對稱，可得⑤正確．
由AC=

3

，∠B=60°，AB=1，利用正弦定理及由大邊對大角可得△ABC是一個唯一的直角三角形，故⑥不正確．

解答：解：對于函數f（x）=lnx-2+x，在區間（1，e）上單調遞增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根據函數零點的判定定理
可得，在區間（1，e）上存在零點，故①正確．
②不正確，如當f（x）=x³時，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0處沒有極值．
③當 m≥-1，函數y=log

1

2

(x2-2x-m)的真數為 x²-2x-m，判別式△=4+4m≥0，故真數可取遍所有的正實數，
故函數y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R，故③正確．
④由a=1可得f(x)=

1-ex

1+ex

，定義域為R，關于原點對稱，f(-x)=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f（x），故函數在
定義域上是奇函數，故充分性成立．
若函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數，則有f（0）=0，或f（0）不存在，∴a=1，或a=-1，故不能推出a=1．
故必要性不成立，故④正確．
⑤在函數y=f（1+x）的圖象上任意取一點（a，f（1+a）），則點（a，f（1+a））關于y軸的對稱點為
（-a，f（1-a）），故函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l-x）的圖象關于y軸對稱，故⑤正確．
⑥△ABC中，由AC=

3

，∠B=60°，AB=1，利用正弦定理求得sinC=

1

2

，再由大邊對大角可得C=30°，∴B=90°，
△ABC是一個唯一的直角三角形，故⑥不正確．
故答案為 ①③④⑤．

點評：本題主要考查命題的真假的判斷，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題．