Question

已知的頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.
（1）求的項點B、C的坐標;
（2）若圓M經過不同的三點A、B、P（m、0），且斜率為1的直線與圓M相切于點P
求：圓M的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：(1)由題意可知在直線上，又在軸，即，聯立可求，又因為AC邊上的高BH所在直線方程為，可得點在軸，設為，由是 邊的中點，根據中點坐標公式，把的坐標用表示出來，進而把的坐標代入直線中，求；（2）弦的垂直平分線過圓心，故先求弦的垂直平分線，再求弦垂直平分線，聯立求交點，即得圓心坐標，其中坐標都是用表示，再根據過圓心和切點的直線必與斜率為1的直線垂直，∴,列式求，從而圓心確定，再根據兩點之間距離公式求半徑，圓的方程確定.
試題解析：（1）AC邊上的高BH所在直線方程為y=0,所以AC: x=0
又CD: ，所以C(0, -)                            2分
設B(b, 0)，則AB的中點D()，代入方程
解得b="2," 所以B(2, 0)                                 4分
（2）由A(0, 1), B(2, 0)可得，圓M的弦AB的中垂線方程為
BP也是圓M的弦，所以圓心在直線上.  設圓心M
因為圓心M在直線上，所以 ①
又因為斜率為1的直線與圓M相切于點P，所以.
即，整理得： ②
由①②可得：，所以，半徑
所以所求圓的方程為                   12分