Question

設函數f（x）=（x-1）²+blnx．
（1）若f（x）在x=2時取得極小值，求b的值；
（2）若函數f（x）在定義城上是單調函數，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=（x-1）²+blnx，
∴f′（x）=2（x-1）+，
∵（x）在x=2時取得極小值，
∴f（2）=0，2×1+=0，∴b=-4；
（2）f（x）在定義域上是單調函數，則f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
①∵x＞0，當f′（x）≥0，有b≥2x-2x²=-2（x-）²+，b≥，
②當f′（x）≤0，b≤2x-2x3對任意x＞0成立，不存在，
故滿足條件的b的取值范圍為[，+∞）．
分析：（1）因為函數f（x）=（x-1）²+blnx，對其進行求導，已知（x）在x=2時取得極小值，可得f′（2）=0，從而求解；
（2）函數f（x）=（x-1）²+blnx，f（x）在定義城上是單調函數，則f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，分兩種情況進行討論，從而求解；
點評：此題主要考查函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，此題是高考的熱點問題，是一道中檔題．