Question

【題目】已知，，其中為實常數.

（1）若函數在區間[2，3]上為單調遞增函數，求的取值范圍；

（2）高函數在區間上的最小值為，試討論函數，的零點的情況.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據復合函數的單調性可知在上為單調遞增函數且，由二次函數的圖象與性質列出不等式求解即可；（2）換元法將函數解析式轉化為一元二次函數，根據二次函數的圖象與性質分類討論求出函數在上的最小值，數形結合分析的零點.

（1）因為為增函數，且函數在區間上為單調遞增函數時，

所以在上為單調遞增函數，且，

則解得

綜上，的取值范圍是.

（2）由已知，

令 ，，

當時，.

①若，則在上為增函數，.

②若，則.

③若，則在上為減函數，.

所以，

畫出函數的圖象如下圖所示：

由數形結合可知：當時，函數，無零點；

當時，函數，有1個零點；

當時，函數，有2個零點.